Die PQ-Formel
einfach erklärt
Lerne, wie du quadratische Gleichungen mit der PQ-Formel löst. Mit interaktivem PQ-Formel Rechner online, ausführlichen Beispielen, Einzelschritten und Übungsaufgaben – alles kostenlos.
Auch gesucht als P-Q-Formel, p q Formel oder pq Formel: Hier findest du die Formel, den Rechenweg und passende Aufgaben auf einer Seite.
Die PQ-Formel
für x² + px + q = 0
Was möchtest du machen?
Wähle den passenden Einstieg für deine Aufgabe.
Was ist die PQ-Formel?
Die PQ-Formel ist eine der wichtigsten Formeln der Algebra und wird im deutschsprachigen Mathematikunterricht ab der 9. Klasse gelehrt. Sie ermöglicht es, quadratische Gleichungen der Form x² + px + q = 0 (sogenannte Normalform) schnell und zuverlässig zu lösen.
Der Name „PQ-Formel“ leitet sich von den beiden Koeffizienten p (der Koeffizient vor x) und q (das konstante Glied) ab. Sie ist eine vereinfachte Variante der allgemeineren abc-Formel (Mitternachtsformel), die im deutschsprachigen Raum seltener verwendet wird.
Die PQ-Formel wird eingesetzt, um die Nullstellen einer quadratischen Funktion f(x) = x² + px + q zu berechnen – also die x-Werte, an denen der Graph der Funktion (eine Parabel) die x-Achse schneidet.
Quadratische Gleichung in Normalform:
Angewendete PQ-Formel:
Schritt-für-Schritt-Anleitung
So wendest du die PQ-Formel systematisch an – am Beispiel der Gleichung x² − 5x + 6 = 0.
Gleichung in Normalform bringen
Die PQ-Formel gilt nur für Gleichungen der Form x² + px + q = 0. Falls der Koeffizient vor x² nicht 1 ist (z. B. 2x² − 10x + 12 = 0), musst du zuerst durch diesen Wert dividieren: ÷2 ergibt x² − 5x + 6 = 0.
x² − 5x + 6 = 0 ✓p und q ablesen
Lies den Koeffizienten p direkt vor x und das konstante Glied q ab. Achte besonders auf die Vorzeichen! In der Gleichung x² − 5x + 6 = 0 ist p = −5 (nicht +5!) und q = 6.
p = −5, q = 6Diskriminante D berechnen
Berechne D = (p/2)² − q. Die Diskriminante bestimmt, wie viele Lösungen die Gleichung hat. Bei unserem Beispiel: D = (−5/2)² − 6 = 6,25 − 6 = 0,25 > 0, also gibt es zwei Lösungen.
D = (−2,5)² − 6 = 6,25 − 6 = 0,25PQ-Formel anwenden
Setze p und q in die Formel x₁,₂ = −p/2 ± √D ein. Bei unserem Beispiel: x₁,₂ = 2,5 ± √0,25 = 2,5 ± 0,5.
x₁ = 2,5 + 0,5 = 3 | x₂ = 2,5 − 0,5 = 2Probe durchführen
Setze die Lösungen in die ursprüngliche Gleichung ein, um dein Ergebnis zu überprüfen. Für x₁ = 3: 3² − 5·3 + 6 = 9 − 15 + 6 = 0 ✓
3² − 5·3 + 6 = 9 − 15 + 6 = 0 ✓Die Diskriminante – drei mögliche Fälle
Der Ausdruck unter der Wurzel D = (p/2)² − q heißt Diskriminante. Ihr Vorzeichen bestimmt, wie viele Lösungen die quadratische Gleichung hat.
Zwei Lösungen
Die Parabel schneidet die x-Achse an zwei verschiedenen Stellen. Es gibt zwei verschiedene reelle Lösungen x₁ ≠ x₂.
𝕃 = {x₁; x₂}Eine Lösung
Die Parabel berührt die x-Achse genau an einem Punkt (Scheitelpunkt). Es gibt genau eine Lösung – die sogenannte Doppellösung x₁ = x₂.
𝕃 = {x₁}Keine Lösung
Die Parabel liegt vollständig oberhalb (oder unterhalb) der x-Achse und schneidet sie nicht. Es gibt keine reellen Lösungen.
𝕃 = {} (leer)Warum funktioniert die PQ-Formel?
Die Formel entsteht durch quadratische Ergänzung aus x² + px + q = 0. Die vollständige Herleitung zeigt jeden Umformungsschritt und erklärt, warum (p/2)² ergänzt wird.
PQ-Formel Herleitung ansehenPQ-Formel vs. ABC-Formel (Mitternachtsformel)
In Deutschland wird die PQ-Formel bevorzugt, während in anderen Ländern die allgemeinere ABC-Formel (Mitternachtsformel) verwendet wird. Hier sind die wichtigsten Unterschiede:
| Merkmal | PQ-Formel | ABC-Formel |
|---|---|---|
| Formel | x = −p/2 ± √((p/2)² − q) | x = (−b ± √(b²−4ac)) / 2a |
| Gleichungsform | x² + px + q = 0 (Normalform) | ax² + bx + c = 0 (allgemein) |
| Voraussetzung | Koeffizient vor x² muss 1 sein | Keine besondere Voraussetzung |
| Verwendung | Deutschland, Österreich, Schweiz | International verbreitet |
| Schulmathematik | ✓ Standard in Deutschland | Eher in höheren Klassen |
Häufige Fehler bei der PQ-Formel
Fehler 1: Nicht in Normalform gebracht
2x² − 10x + 12 = 0 → p = −10, q = 12Zuerst ÷2: x² − 5x + 6 = 0 → p = −5, q = 6Fehler 2: Falsches Vorzeichen bei p
x² − 5x + 6 = 0 → p = 5 (falsch!)p ist der Koeffizient direkt vor x: p = −5Fehler 3: ± vergessen
x₁,₂ = −p/2 + √D (nur + berechnet)Beide Vorzeichen berechnen: + für x₁, − für x₂Fehler 4: Wurzel aus negativer Zahl
D < 0: √D ausrechnen und falsch schreibenD < 0 bedeutet: keine reellen Lösungen, Lösungsmenge leerJetzt üben und vertiefen
Gib p und q ein und erhalte die Lösung mit vollständigem Rechenweg und Parabelgraph.
10 vollständig gelöste Beispiele von einfach bis schwer – inklusive Doppellösung und keiner Lösung.
15 Übungsaufgaben mit versteckten Lösungen. Teste dein Wissen auf verschiedenen Schwierigkeitsstufen.
Häufig gestellte Fragen
Was ist die PQ-Formel?
Die PQ-Formel ist eine Lösungsformel für quadratische Gleichungen in der Normalform x² + px + q = 0. Sie lautet: x₁,₂ = −p/2 ± √((p/2)² − q). Mit ihr lassen sich die Nullstellen einer quadratischen Funktion berechnen.
Was bringt die PQ-Formel?
Die PQ-Formel bringt dir eine universelle Methode, mit der du jede quadratische Gleichung in Normalform lösen kannst – egal ob sie zwei, eine oder keine reelle Lösung hat. Sie ist unverzichtbar in der Schulmathematik (ab Klasse 9), in der Physik (z. B. Wurfparabeln) und überall dort, wo Nullstellen quadratischer Funktionen gebraucht werden.
Was macht die PQ-Formel?
Die PQ-Formel berechnet die Lösungen (Nullstellen) einer quadratischen Gleichung x² + px + q = 0. Du setzt die Werte p und q ein und erhältst bis zu zwei x-Werte, an denen die zugehörige Parabel die x-Achse schneidet. Sie macht also aus einer Gleichung konkrete Zahlenwerte.
Wie lautet die PQ-Formel?
Die PQ-Formel lautet: x₁,₂ = −p/2 ± √((p/2)² − q). Dabei ist p der Koeffizient vor x und q das konstante Glied in der Gleichung x² + px + q = 0. Das ±-Zeichen bedeutet, dass es zwei mögliche Lösungen gibt.
Heißt es Q-Formel oder PQ-Formel?
In der Schulmathematik heißt sie PQ-Formel, weil die Normalform x² + px + q = 0 die beiden Werte p und q enthält. Wenn jemand nach der Q-Formel sucht, ist meistens ebenfalls die PQ-Formel gemeint.
Wie wendet man die PQ-Formel an?
So wendest du die PQ-Formel an: 1) Bringe die Gleichung in die Normalform x² + px + q = 0. 2) Lies p und q ab (Vorzeichen beachten!). 3) Berechne die Diskriminante D = (p/2)² − q. 4) Setze in x₁,₂ = −p/2 ± √D ein. 5) Führe die Probe durch. Beispiel: x² − 5x + 6 = 0 → p = −5, q = 6 → x₁ = 3, x₂ = 2.
Wann benutzt man die PQ-Formel?
Die PQ-Formel wird angewendet, wenn eine quadratische Gleichung in der Normalform x² + px + q = 0 vorliegt, also wenn der Koeffizient vor x² gleich 1 ist. Wenn der Koeffizient ≠ 1 ist (z. B. 2x² + 6x + 4 = 0), muss man zuerst durch diesen Koeffizienten dividieren.
Was ist die Diskriminante bei der PQ-Formel?
Die Diskriminante D = (p/2)² − q bestimmt, wie viele Lösungen die Gleichung hat. Ist D > 0, gibt es zwei Lösungen. Ist D = 0, gibt es genau eine Lösung (Doppellösung). Ist D < 0, gibt es keine reellen Lösungen.
Was ist der Unterschied zwischen PQ-Formel und Mitternachtsformel?
Die PQ-Formel gilt nur für Gleichungen in der Normalform (x² + px + q = 0), also wenn der Koeffizient vor x² gleich 1 ist. Die Mitternachtsformel (abc-Formel) funktioniert auch bei allgemeinen quadratischen Gleichungen ax² + bx + c = 0 mit beliebigem a. In Deutschland wird die PQ-Formel im Schulunterricht bevorzugt, international eher die Mitternachtsformel.
Kann man die PQ-Formel online berechnen?
Ja! Auf PQ-Formel.de findest du einen kostenlosen Online-Rechner. Gib einfach die Werte p und q ein und erhalte sofort die Lösung mit vollständigem Rechenweg, Diskriminante und Parabelgraph. Der Rechner funktioniert auf allen Geräten – auch am Handy.
Wie gibt man die PQ-Formel in GeoGebra ein?
In GeoGebra definierst du zuerst die Variablen p und q als Schieberegler. Dann gibst du die Funktion f(x) = x² + p*x + q ein. Um die Nullstellen zu berechnen, nutze den Befehl Nullstelle(f). Alternativ kannst du die PQ-Formel direkt eingeben: x1 = -p/2 + sqrt((p/2)² - q) und x2 = -p/2 - sqrt((p/2)² - q).
Alle Themen auf PQ-Formel.de
Gleichungen online mit Schritt-für-Schritt-Lösung und Parabelgraph berechnen
10 ausführliche Beispiele von einfach bis schwer mit Lösungswegen
15 Aufgaben mit Lösungen zum selbst Üben
Druckbares Arbeitsblatt mit Lösungen erstellen
Schritt für Schritt sauber rechnen
Nutzen, Anwendungen und Beispiele
Koeffizienten und Vorzeichen sicher ablesen
PQ-Formel vs. Faktorisierung vs. ABC-Formel – ein Vergleich
Wann die PQ-Formel in der Schule drankommt
Unterschied und Umrechnung der beiden Formeln
Spezialfall q = 0 einfach lösen
Verbindung zwischen PQ-Formel und Nullstellen einer Parabel
D = (p/2)² − q berechnen – alle 3 Fälle mit Übungsaufgaben
Doppellösung bei D = 0 verstehen
ax² + bx + c interaktiv in Normalform bringen
Die Formel mit quadratischer Ergänzung verstehen