PQ-Formel Beispiele

Q: Wie viele Beispiele gibt es zur PQ-Formel hier?

Auf dieser Seite findest du 10 vollständig gelöste Beispiele zur PQ-Formel, sortiert nach Schwierigkeitsgrad von einfach bis schwer. Jedes Beispiel zeigt den kompletten Rechenweg Schritt für Schritt.

Q: Was ist eine Doppellösung bei der PQ-Formel?

Eine Doppellösung tritt auf, wenn die Diskriminante D = (p/2)² − q genau 0 ist. In diesem Fall gilt x₁ = x₂ = −p/2. Geometrisch bedeutet das: Die Parabel berührt die x-Achse genau in einem Punkt, dem Scheitelpunkt.

Q: Was mache ich, wenn der Koeffizient vor x² nicht 1 ist?

Dann musst du die Gleichung zuerst in die Normalform x² + px + q = 0 umschreiben. Dafür dividierst du die gesamte Gleichung durch den Koeffizienten vor x². Beispiel 7 auf dieser Seite zeigt genau diesen Fall.

Q: Wie führe ich eine Probe durch?

Setze die berechneten Lösungen x₁ und x₂ einzeln in die ursprüngliche Gleichung ein. Das Ergebnis muss 0 sein. Zum Beispiel: Für x₁ = 3 bei x² − 5x + 6 = 0: 9 − 15 + 6 = 0 ✓

Hier findest du 10 vollständig gelöste Beispiele zur PQ-Formel – von einfachen Gleichungen mit zwei ganzzahligen Lösungen bis zu Doppellösungen, Gleichungen ohne reelle Lösungen und Gleichungen mit Dezimalkoeffizienten.

Jedes Beispiel zeigt den vollständigen Rechenweg Schritt für Schritt: Normalform prüfen, p und q ablesen, Diskriminante berechnen, PQ-Formel anwenden und das Ergebnis angeben. Klappe die Lösungen auf, sobald du selbst gerechnet hast!

Einfache Beispiele

Mittlere Beispiele

Schwere Beispiele

EEinfache Beispiele – Zwei reelle Lösungen

In diesen Beispielen ist die Diskriminante positiv (D > 0). Es gibt jeweils zwei verschiedene ganzzahlige Lösungen.

Einfach2 Lösungen

Einfaches Beispiel mit zwei Lösungen

x² − 5x + 6 = 0

Ein klassisches Einführungsbeispiel: Die Gleichung x² − 5x + 6 = 0 hat zwei positive Lösungen.

Lösung anzeigen

Werte ablesen

p = −5, q = 6

PQ-Formel aufstellen

x₁,₂ = −(−5/2) ± √((−5/2)² − 6)

p/2 berechnen

p/2 = −5/2 = −2,5

Diskriminante berechnen

D = (−2,5)² − 6 = 6,25 − 6 = 0,25

ℹ D > 0 → zwei Lösungen

√D berechnen

√0,25 = 0,5

Erste Lösung

x₁ = 2,5 + 0,5 = 3

Zweite Lösung

x₂ = 2,5 − 0,5 = 2

✓

Ergebnis

𝕃 = {2; 3}

Im Rechner ausprobieren →

Einfach2 Lösungen

Negative Lösungen

x² + 5x + 6 = 0

Hier sind beide Lösungen negativ. Ein häufiger Stolperstein ist das Vorzeichen von p.

Lösung anzeigen

Werte ablesen

p = 5, q = 6

PQ-Formel aufstellen

x₁,₂ = −(5/2) ± √((5/2)² − 6)

p/2 berechnen

p/2 = 5/2 = 2,5

Diskriminante berechnen

D = (2,5)² − 6 = 6,25 − 6 = 0,25

ℹ D > 0 → zwei Lösungen

√D berechnen

√0,25 = 0,5

Erste Lösung

x₁ = −2,5 + 0,5 = −2

Zweite Lösung

x₂ = −2,5 − 0,5 = −3

✓

Ergebnis

𝕃 = {−3; −2}

Im Rechner ausprobieren →

Einfach2 Lösungen

Gemischte Vorzeichen

x² + 2x − 8 = 0

q ist hier negativ. Das macht die Rechnung etwas einfacher, da die Diskriminante groß wird.

Lösung anzeigen

Werte ablesen

p = 2, q = −8

PQ-Formel aufstellen

x₁,₂ = −(2/2) ± √((2/2)² − (−8))

p/2 berechnen

p/2 = 2/2 = 1

Diskriminante berechnen

D = 1² − (−8) = 1 + 8 = 9

ℹ D > 0 → zwei Lösungen

√D berechnen

√9 = 3

Erste Lösung

x₁ = −1 + 3 = 2

Zweite Lösung

x₂ = −1 − 3 = −4

✓

Ergebnis

𝕃 = {−4; 2}

Im Rechner ausprobieren →

MMittlere Beispiele – Sonderfälle und Wurzeln

Diese Beispiele zeigen D = 0, D < 0, irrationale Lösungen und den Spezialfall q = 0.

Mittel1 Lösung

Doppellösung (D = 0)

x² − 6x + 9 = 0

Wenn die Diskriminante genau 0 ist, gibt es nur eine Lösung – die sogenannte Doppellösung.

Lösung anzeigen

Werte ablesen

p = −6, q = 9

PQ-Formel aufstellen

x₁,₂ = −(−6/2) ± √((−6/2)² − 9)

p/2 berechnen

p/2 = −6/2 = −3

Diskriminante berechnen

D = (−3)² − 9 = 9 − 9 = 0

ℹ D = 0 → genau eine Lösung

Doppellösung

x₁ = x₂ = −(−3) = 3

✓

Ergebnis

𝕃 = {3}

Im Rechner ausprobieren →

MittelKeine Lösung

Keine reelle Lösung (D < 0)

x² + 4x + 5 = 0

Ist die Diskriminante negativ, gibt es keine reellen Lösungen – die Parabel schneidet die x-Achse nicht.

Lösung anzeigen

Werte ablesen

p = 4, q = 5

PQ-Formel aufstellen

x₁,₂ = −(4/2) ± √((4/2)² − 5)

p/2 berechnen

p/2 = 4/2 = 2

Diskriminante berechnen

D = 2² − 5 = 4 − 5 = −1

ℹ D < 0 → keine reellen Lösungen

Schlussfolgerung

√(−1) ist nicht reell

ℹ Die Gleichung hat keine reellen Lösungen

✓

Ergebnis

𝕃 = {} (leere Lösungsmenge)

Im Rechner ausprobieren →

Mittel2 Lösungen

Irrationale Lösungen

x² − 4x + 2 = 0

Manchmal sind die Lösungen keine ganzen Zahlen, sondern irrationale Zahlen mit Wurzeln.

Lösung anzeigen

Werte ablesen

p = −4, q = 2

PQ-Formel aufstellen

x₁,₂ = −(−4/2) ± √((−4/2)² − 2)

p/2 berechnen

p/2 = −4/2 = −2

Diskriminante berechnen

D = (−2)² − 2 = 4 − 2 = 2

ℹ D > 0 → zwei Lösungen

√D berechnen

√2 ≈ 1,4142

Erste Lösung

x₁ = 2 + √2 ≈ 3,4142

Zweite Lösung

x₂ = 2 − √2 ≈ 0,5858

✓

Ergebnis

𝕃 = {2 − √2; 2 + √2} ≈ {0,5858; 3,4142}

Im Rechner ausprobieren →

Mittel2 Lösungen

Spezialfall ohne q (q = 0)

x² − 6x = 0

Fehlt das konstante Glied, ist q = 0. Eine Lösung ist dann immer x = 0.

Lösung anzeigen

Werte ablesen

p = −6, q = 0

PQ-Formel aufstellen

x₁,₂ = −(−6/2) ± √((−6/2)² − 0)

p/2 berechnen

p/2 = −6/2 = −3

Diskriminante berechnen

D = (−3)² − 0 = 9

ℹ D > 0 → zwei Lösungen

√D berechnen

√9 = 3

Lösungen

x₁ = 3 + 3 = 6, x₂ = 3 − 3 = 0

✓

Ergebnis

𝕃 = {0; 6}

Im Rechner ausprobieren →

SSchwere Beispiele – Normalform, Dezimalzahlen & Brüche

Diese Beispiele erfordern zuerst das Umformen in die Normalform oder den Umgang mit Dezimalzahlen und Brüchen.

Schwer2 Lösungen

Vorher in Normalform bringen

2x² − 10x + 12 = 0 → x² − 5x + 6 = 0

Wenn der Koeffizient vor x² nicht 1 ist, muss die Gleichung zuerst durch diesen geteilt werden.

Lösung anzeigen

Gleichung vereinfachen

2x² − 10x + 12 = 0 |÷2

ℹ Beide Seiten durch 2 dividieren

Normalform

x² − 5x + 6 = 0

Werte ablesen

p = −5, q = 6

p/2 berechnen

p/2 = −2,5

Diskriminante berechnen

D = (−2,5)² − 6 = 6,25 − 6 = 0,25

√D berechnen

√0,25 = 0,5

Lösungen

x₁ = 2,5 + 0,5 = 3, x₂ = 2,5 − 0,5 = 2

✓

Ergebnis

𝕃 = {2; 3}

Im Rechner ausprobieren →

Schwer2 Lösungen

Dezimale Koeffizienten

x² − 3,5x + 3 = 0

Die PQ-Formel funktioniert auch mit Dezimalzahlen als Koeffizienten.

Lösung anzeigen

Werte ablesen

p = −3,5, q = 3

p/2 berechnen

p/2 = −3,5/2 = −1,75

Diskriminante berechnen

D = (−1,75)² − 3 = 3,0625 − 3 = 0,0625

ℹ D > 0 → zwei Lösungen

√D berechnen

√0,0625 = 0,25

Erste Lösung

x₁ = 1,75 + 0,25 = 2

Zweite Lösung

x₂ = 1,75 − 0,25 = 1,5

✓

Ergebnis

𝕃 = {1,5; 2}

Im Rechner ausprobieren →

Schwer2 Lösungen

Bruch als Koeffizient

x² − (5/2)x + 1 = 0

Auch Brüche lassen sich direkt einsetzen. Hier entstehen trotz Bruchkoeffizient zwei einfache Lösungen.

Lösung anzeigen

Werte ablesen

p = −5/2 = −2,5, q = 1

p/2 berechnen

p/2 = −2,5/2 = −1,25

Diskriminante berechnen

D = (−1,25)² − 1 = 1,5625 − 1 = 0,5625

ℹ D > 0 → zwei Lösungen

√D berechnen

√0,5625 = 0,75

Erste Lösung

x₁ = 1,25 + 0,75 = 2

Zweite Lösung

x₂ = 1,25 − 0,75 = 0,5

✓

Ergebnis

𝕃 = {0,5; 2}

Im Rechner ausprobieren →

Tipps zum Lösen der Beispiele

Vor dem Rechnen:

✓ Gleichung in Normalform bringen
✓ p und q sorgfältig ablesen (Vorzeichen!)
✓ Diskriminante D zuerst berechnen
✓ Anzahl der Lösungen aus D ableiten

Nach dem Rechnen:

✓ Probe durchführen (x₁ und x₂ einsetzen)
✓ Lösungsmenge 𝕃 korrekt aufschreiben
✓ Bei D = 0: Doppellösung nicht vergessen
✓ Bei D < 0: Lösungsmenge = {}

Eigene Gleichungen berechnen?

Gib deine Werte für p und q ein und erhalte die vollständige Schritt-für-Schritt-Lösung.

Rechner öffnen →

Häufig gestellte Fragen

Wie viele Beispiele gibt es zur PQ-Formel hier?

Auf dieser Seite findest du 10 vollständig gelöste Beispiele zur PQ-Formel, sortiert nach Schwierigkeitsgrad von einfach bis schwer. Jedes Beispiel zeigt den kompletten Rechenweg Schritt für Schritt.

Was ist eine Doppellösung bei der PQ-Formel?

Eine Doppellösung tritt auf, wenn die Diskriminante D = (p/2)² − q genau 0 ist. In diesem Fall gilt x₁ = x₂ = −p/2. Geometrisch bedeutet das: Die Parabel berührt die x-Achse genau in einem Punkt, dem Scheitelpunkt.

Was mache ich, wenn der Koeffizient vor x² nicht 1 ist?

Dann musst du die Gleichung zuerst in die Normalform x² + px + q = 0 umschreiben. Dafür dividierst du die gesamte Gleichung durch den Koeffizienten vor x². Beispiel 7 auf dieser Seite zeigt genau diesen Fall.

Wie führe ich eine Probe durch?

Setze die berechneten Lösungen x₁ und x₂ einzeln in die ursprüngliche Gleichung ein. Das Ergebnis muss 0 sein. Zum Beispiel: Für x₁ = 3 bei x² − 5x + 6 = 0: 9 − 15 + 6 = 0 ✓