Nullstellen berechnen mit der PQ-Formel
Die PQ-Formel ist das wichtigste Werkzeug, um die Nullstellen quadratischer Funktionen zu berechnen. Hier lernst du, was Nullstellen sind, wie sie mit der PQ-Formel berechnet werden und wie sie geometrisch mit der Parabel zusammenhängen.
Was sind Nullstellen?
Die Nullstellen einer Funktion f(x) sind die x-Werte, für die der Funktionswert gleich null ist:
Bei einer quadratischen Funktion f(x) = x² + px + q ist der Graph eine Parabel. Die Nullstellen sind genau die x-Koordinaten der Punkte, an denen die Parabel die x-Achse schneidet (zwei Nullstellen) oder berührt (eine Nullstelle = Scheitelpunkt auf der x-Achse).
Parabel Nullstellen berechnen
Eine Parabel ist der Graph einer quadratischen Funktion f(x) = x² + px + q. Die Nullstellen der Parabel sind die Schnittpunkte mit der x-Achse – also die Stellen, an denen f(x) = 0 gilt.
Um die Nullstellen einer Parabel zu berechnen, setzt du f(x) = 0 und löst die entstehende quadratische Gleichung mit der PQ-Formel. Je nach Lage der Parabel gibt es drei mögliche Fälle:
- Zwei Nullstellen: Die Parabel schneidet die x-Achse an zwei verschiedenen Punkten (D > 0).
- Eine Nullstelle (Berührpunkt): Der Scheitelpunkt der Parabel liegt genau auf der x-Achse (D = 0). Man spricht auch von einer Doppellösung.
- Keine Nullstelle: Die Parabel liegt vollständig oberhalb oder unterhalb der x-Achse (D < 0).
p und q aus den Nullstellen berechnen (Satz von Vieta)
Manchmal kennt man die Nullstellen x₁ und x₂ und möchte daraus die Koeffizienten p und q der Gleichung x² + px + q = 0 berechnen. Dafür nutzt man den Satz von Vieta:
Beispiel: Nullstellen x₁ = 2 und x₂ = 5
p = −(2 + 5) = −7q = 2 · 5 = 10x² − 7x + 10 = 0Von der Funktion zur Gleichung
Um die Nullstellen zu berechnen, setzt man f(x) = 0 und löst die entstehende Gleichung mit der PQ-Formel:
Quadratische Funktion aufschreiben
f(x) = 0 setzen
Normalform der quadratischen Gleichung
PQ-Formel anwenden
x₁ und x₂ sind die Nullstellen
Drei Fälle: Wie viele Nullstellen?
Zwei Nullstellen
D > 0: Die Parabel schneidet die x-Achse an zwei verschiedenen Stellen.
𝕃 = {x₁; x₂}Eine Nullstelle
D = 0: Die Parabel berührt die x-Achse genau in einem Punkt.
𝕃 = {x₁}Keine Nullstelle
D < 0: Die Parabel liegt vollständig über (oder unter) der x-Achse.
𝕃 = {}Beispiel: Nullstellen von f(x) = x² − 5x + 6
Aufgabe:
Berechne die Nullstellen der Funktion f(x) = x² − 5x + 6.
✓ Die Nullstellen sind: x₁ = 3 und x₂ = 2
Die Parabel f(x) = x² − 5x + 6 schneidet die x-Achse bei x = 2 und x = 3.
Nullstellen berechnen lassen
Unser Rechner berechnet die Nullstellen und zeigt dir den Parabelgraph.
Rechner mit Parabelgraph →Häufig gestellte Fragen
Was sind Nullstellen einer Funktion?
Nullstellen sind die x-Werte, für die f(x) = 0 gilt. Geometrisch sind das die Punkte, an denen der Graph der Funktion die x-Achse schneidet oder berührt. Bei einer quadratischen Funktion f(x) = x² + px + q werden sie mit der PQ-Formel berechnet.
Wie berechnet man Nullstellen mit der PQ-Formel?
Man setzt f(x) = 0, also x² + px + q = 0, und wendet die PQ-Formel an: x₁,₂ = −p/2 ± √((p/2)² − q). Die Lösungen x₁ und x₂ sind die Nullstellen der Funktion.
Was bedeutet es, wenn eine Parabel nur eine Nullstelle hat?
Wenn eine Parabel nur eine Nullstelle hat, berührt sie die x-Achse genau an einem Punkt – nämlich am Scheitelpunkt. Mathematisch bedeutet das: Die Diskriminante D = (p/2)² − q ist gleich 0, und die einzige Lösung ist x = −p/2. Man spricht von einer Doppellösung (x₁ = x₂).
Wie berechne ich p, wenn die Nullstellen bekannt sind?
Wenn du die Nullstellen x₁ und x₂ kennst, kannst du p und q über den Satz von Vieta berechnen: p = −(x₁ + x₂) und q = x₁ · x₂. Beispiel: Nullstellen x₁ = 2 und x₂ = 3 → p = −(2+3) = −5 und q = 2·3 = 6. Die Gleichung lautet also x² − 5x + 6 = 0.
Was bedeutet es, wenn eine quadratische Funktion keine Nullstellen hat?
Wenn die Diskriminante D = (p/2)² − q negativ ist, hat die Funktion keine reellen Nullstellen. Das bedeutet, der Graph (die Parabel) liegt vollständig oberhalb oder unterhalb der x-Achse und schneidet sie nicht.
Was ist der Unterschied zwischen Nullstelle und Wurzel?
Beide Begriffe bezeichnen dasselbe: die x-Werte, für die f(x) = 0 ist. "Nullstelle" ist eher der funktionsanalytische Begriff, "Wurzel" (oder Lösung) eher der algebraische Begriff. Im Kontext quadratischer Gleichungen sind sie austauschbar.