1. Normalform
Ausgangspunkt ist die Normalform. Vor x² steht 1.
PQ-Formel Herleitung
Die PQ-Formel ist kein Merksatz aus dem Nichts. Sie folgt direkt aus der quadratischen Ergänzung. In sechs Umformungen wird aus der Normalform die bekannte Lösungsformel.
Herleitung in 6 Schritten
2. q verschieben
Subtrahiere q auf beiden Seiten.
3. Quadratisch ergänzen
Addiere auf beiden Seiten (p/2)². Der Wert der Gleichung bleibt gleich.
x^2+px+left( rac p2
ight)^2=-q+left( rac p2
ight)^2
4. Binom erkennen
Die linke Seite ist nun die zweite binomische Formel.
left(x+ rac p2
ight)^2=left( rac p2
ight)^2-q
5. Wurzel ziehen
Beim Wurzelziehen entstehen eine positive und eine negative Möglichkeit.
x+ rac p2=pmsqrt{left( rac p2
ight)^2-q}
6. x freistellen
Subtrahiere p/2. Das Ergebnis ist die PQ-Formel.
x_{1,2}=- rac p2pmsqrt{left( rac p2
ight)^2-q}
Warum gerade (p/2)²?
Gesucht ist ein Binom, dessen mittlerer Term px ist. Beim Ausmultiplizieren von (x + p/2)² entsteht genau dieser Term:
Deshalb ergänzt man links um (p/2)². Damit die Gleichung gleichwertig bleibt, muss derselbe Ausdruck auch rechts addiert werden.
Herleitung am Zahlenbeispiel
Für x² − 6x + 5 = 0 sind p = −6 und q = 5:
1
2
3
4
5
Was die Herleitung über Lösungen verrät
Unter der Wurzel bleibt (p/2)² − q stehen. Dieser Ausdruck ist die Diskriminante: Ist er positiv, gibt es zwei reelle Lösungen; bei 0 eine Doppellösung; bei einem negativen Wert keine reelle Lösung.
Die Formel praktisch anwenden
Teste die Schritte mit eigenen p- und q-Werten.
Häufig gestellte Fragen
Wie wird die PQ-Formel hergeleitet?
Die Herleitung beginnt mit x² + px + q = 0 und verwendet die quadratische Ergänzung. Durch Addition von (p/2)² entsteht links das Binom (x + p/2)². Nach dem Wurzelziehen und Freistellen von x erhält man die PQ-Formel.
Warum ergänzt man genau (p/2)²?
Weil (x + p/2)² ausmultipliziert x² + px + (p/2)² ergibt. Der mittlere Term ist dadurch genau px. Nur mit dieser Ergänzung entsteht ein vollständiges Quadrat.
Warum steht in der PQ-Formel plus/minus?
Sowohl eine positive als auch eine negative Zahl ergeben beim Quadrieren denselben Wert. Deshalb liefert das Wurzelziehen zwei Fälle: +√D und −√D.
Ist die Herleitung dasselbe wie die quadratische Ergänzung?
Die quadratische Ergänzung ist die Methode, mit der die PQ-Formel hergeleitet wird. Du kannst dieselbe Methode auch direkt zum Lösen einzelner quadratischer Gleichungen verwenden.